経済学における微分の処理方法

目次

１.微分とは

２.偏微分とは

1.微分とは

 微分とはある関数の各点における接線の傾きのことで、傾きは変化の割合を表しています。

 接線の傾きは微分係数と呼ばれており、グラフの縦軸をf(x)、横軸をxとした場合に様々なxの値における微分係数を集めて関数と見なしたものが導関数です。

 微分係数はある点における接線の傾きを表す値ですが、導関数は関数という違いがあります。

 関数とはある値同士の関係を表す概念です。

 例えばy＝５xという式で考えると、xが１のときyが５、xが２のときyは25のように、xの値が決まることでyの値も1つに確定します。

 xの値が決まるとyの値が１つに決まるとき、yはxの関数といえます。

 導関数とは値を入力するとその値における微分係数を返してくれる関数です。

 一般的にある点における接線の傾きを微分と呼び、導関数を求めることを微分すると表現します。

 2.偏微分とは

 xやyなど複数の変数を含む関数が多変数関数です。

 多変数関数に含まれる特定の文字以外を定数と見なして微分したものを偏微分と呼びます。

 3.微分の計算問題を処理するには

 5X³+4X²+3X+2をXで微分する場合、

d(5X³+4X²+3X+2)/dX、

もしくは∂(5X³+4X²+3X+2)/∂Xと表記します。

 dはdifferential(微分)の頭文字で、分数の形式で微分することを表現しています。

dの代わりに偏微分を表す∂を使うこともあります。

 5X³+4X²+3X+2をXで微分することを、

(5X³+4X²+3X+2)’とも表記できます。

 5X³+4X²+3X+2をXで微分する様々なパターンは以下の通りです。

 ①. 5X³をXで微分する。

 (5X³)’

＝5・3・X^3-1

＝15X²

 ②. 4X²をXで微分する。

 (4X²)’

＝4・2・X^2-1

＝8X

 ③. 3XをXで微分する。

 (3X)’

＝3・1・X^1-1

＝3

 ④.2という数値(定数)をXで微分する。

 (2)’＝0

 定数を微分すると0になります。

 微分の処理では指数(肩の数値)を降ろして、1を引きます。

降ろした肩の数値はXの横の数値に掛けます。

 1乗のものを微分すると1になるので以下のように表現できます。

 X⁰＝1

 そのため3Xを微分すると以下のようになります。

 (3X)’＝ (3X¹)’

＝3・1・X^1-1

＝3・1・1

＝3

 偏微分の処理パターンには以下のようなものが存在します。

 ①. 3X²Y³をXで微分する。

 (3X²Y³)’

＝d(3X²Y³)/dX

＝3・2・X^2-1Y³

=6XY³

 ②. 3X²Y³＋2XY＋1をXで微分する。

 (3X²Y³＋2XY＋1)’

＝d(3X²Y³＋2XY＋1)/dX

＝3・2・X^2-1Y³＋2・1・Y＋0

=6XY³＋2Y

 ③. 3X²Y³をYで微分する。

 (3X²Y³)’

＝d(3X²Y³)/dY

＝3・2・X²Y^3-1

=6X²Y²

 Yが最大化するXを求める場合にはdY/dX=0になります。

 Xが変化してもYは最大化されていて変化しない状態なので、YをXで微分した値は0です。